Giả sử rằng bạn đã biết khái niệm đường tròn đơn vị và một số tính chất của góc lượng giác và cạnh trong đường tròn đơn vị, bài toán này cần thêm lý thuyết của giới hạn kẹp nữa.

Đầu tiên, chúng ta nên biết một chút về giới hạn kẹp.

Giả sử ta có một số $b$ bị kẹp giữa hai số $a$ và $c$ như sau,

$$a \leq b \leq c$$

Nếu $a$ và $c$ cùng bằng một số $\text{L}$ nào đó, bởi vì $b$ bị kẹp giữa $a$ và $c$ nên ta có thể suy ra được $b$ cũng bằng $\text{L}$, điều này là hoàn toàn hợp tình hợp lý.

Giả sử $b = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$, ta không thể tính trực tiếp $b$ khi $x \to 0$ được, ta cần tìm ra hai giới hạn $a$ và $c$ để kẹp giới hạn $\frac{\sin x}{x}$ lại, rồi sau đó đi tính $a$ và $c$, đó là ý tưởng của bài toán này, làm thế nào để tìm $a$ và $c$, ta sẽ phải dựa vào tính chất của các góc lượng giác và cạnh trong đường tròn đơn vị.

Tại sao phải dựa vào chúng? Bởi vì chúng ta đã có công thức liên hệ giữa góc lượng giác và cạnh trong đường tròn đơn vị, ta chỉ cần tìm ra mối quan hệ giữa chúng, rồi sau đó có thể áp dụng định lý kẹp.

Đầu tiên mình sẽ đi tìm mối quan hệ giữa chúng trước, nhìn bằng mắt thường vào hình ở trên, ta nhận thấy rằng đâu đó diện tích tam giác $\text{OAC}$ có vẻ như nhỏ hơn diện tích đường cung $\stackrel\frown{\text{OAC}}$, và diện tích đường cung $\stackrel\frown{\text{OAC}}$ lại nhỏ hơn diện tích tam giác ngoài $\text{OBC}$, nghĩ thầm ta có thể áp dụng được định lý kẹp ở chỗ này, việc còn lại là cố gắng đưa nó về công thức góc lượng giác thử xem.

Gọi $\theta$ (thay thế cho $x$) là góc được tạo bởi bán kính đường tròn $\text{OA}$ và $\text{OC}$, ta có:

$$\sin \theta = \frac{\text{đối}}{\text{huyền}} = \frac{\text{AD}}{\text{OA}} \Rightarrow \text{AD} = \sin \theta \cdot \text{OA}$$

Mà trong đường tròn đơn vị, độ dài bán kính luôn bằng $1$, tức là $\text{OA} = \text{OC} = 1$, vậy:

$$\text{AD} = \sin \theta \cdot 1 = \sin \theta$$

Khi nói $\theta$ tiến tới $0$, tức là $\theta$ có thể tiến từ số dương (vùng I) về $0$, cũng có thể tiến từ số âm (vùng IV) về $0$, vậy để đảm bảo độ dài $\text{AD}$ luôn đúng, ta cần thêm dấu giá trị tuyệt đối,

$$\text{AD} = |\sin \theta|$$

Có độ dài đoạn $\text{AD}$, ta có thể tính diện tích tam giác $\text{OAC}$ bằng,

$$S_{\text{OAC}} = \frac{1}{2} \cdot \text{AD} \cdot \text{OC} = \frac{1}{2} \cdot |\sin \theta| \cdot 1 = \frac{|\sin \theta|}{2}$$

Tiếp theo, ta cần tính diện tích cung tròn $\stackrel\frown{\text{OAC}}$ (cung có đường màu vàng), ta biết rằng cả một hình tròn đơn vị sẽ có hệ số góc là $2 \pi$ radian và có diện tích là $1 \pi$ radian, vậy một phần nhỏ của hình tròn (tức là cung $\stackrel\frown{\text{OAC}}$) sẽ được tính bằng cách lấy hệ số góc của cung $\stackrel\frown{\text{OAC}}$ chia cho cả hệ số góc của hình tròn sau đó nhân với diện tích của nó đúng không nào.

$$S_{\stackrel\frown{\text{OAC}}} = \frac{\theta}{2 \pi} \cdot \pi = \frac{\theta}{2}$$

Tương tự với lí do như trên, ta cần phải thêm giá trị tuyệt đối vào $\theta$,

$$S_{\stackrel\frown{\text{OAC}}} = \frac{|\theta|}{2}$$

Tiếp theo, tính diện tích của tam giác $\text{OBC}$, ta cần tính độ dài cạnh $BC$ với,

$$\tan \theta = \frac{\text{đối}}{\text{kề}} = \frac{\text{BC}}{\text{OC}} \Rightarrow \text{BC} = \tan \theta \cdot \text{OC} = \tan \theta \cdot 1 = \tan \theta$$

Suy ra diện tích tam giác $\text{OBC}$ bằng:

$$S_\text{OBC} = \frac{1}{2} \cdot \text{OC} \cdot \text{BC} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan \theta = \frac{\tan \theta}{2}$$

Tương tự với lí do như trên, ta cần phải thêm giá trị tuyệt đối vào $\tan \theta$,

$$S_\text{OBC} = \frac{|\tan \theta|}{2}$$

Dựa vào hình trên, ta có thể đưa ra một bất đẳng thức xác định rằng diện tích tam giác $\text{OAC}$ luôn nhỏ hơn diện tích đường cung $\stackrel\frown{\text{OAC}}$ và luôn nhỏ hơn diện tích tam giác $\text{OBC}$, hay,

$$S_\text{OAC} \leq S_\stackrel\frown{\text{OAC}} \leq S_\text{OBC}$$

Thế các kết quả tính diện tích vào, ta có,

$$\frac{|\sin \theta|}{2} \leq \frac{|\theta|}{2} \leq \frac{|\tan \theta|}{2}$$

Bây giờ làm thế nào để biểu thức ở giữa trở thành $\frac{\sin \theta}{\theta}$ để áp dụng định lý kẹp thì quá tuyệt vời, đó là điều chúng ta mong muốn. Đầu tiên, nhân mỗi biểu thức trong bất đẳng thức cho $2$ với mục đích để khử số $2$ đi, ta được,

$$|\sin \theta| \leq |\theta| \leq |\tan \theta|$$

Khai triển $|\tan \theta|$, ta có,

$$|\sin \theta| \leq |\theta| \leq \frac{|\sin \theta|}{|\cos \theta|}$$

Tiếp tục chia mỗi biểu thức trong bất đẳng thức cho $|\sin \theta|$, ta được,

$$\frac{|\sin \theta|}{|\sin \theta|} \leq \frac{|\theta|}{|\sin \theta|} \leq \frac{\left( \frac{|\sin \theta|}{|\cos \theta|} \right)}{|\sin \theta|}$$

Rút gọn một xíu,

$$1 \leq \frac{|\theta|}{|\sin \theta|} \leq \frac{1}{|\cos \theta|}$$

Thực hiện đảo ngược tử số và mẫu số của từng biểu thức trong bất đẳng thức, khi đảo ngược, dấu của bất đẳng thức sẽ thay đổi,

$$1 \geq \frac{|\sin \theta|}{|\theta|} \geq |\cos \theta|$$

Bây giờ xét dấu của giá trị tuyệt đối,

• Đối với biểu thức $\frac{|\sin \theta|}{|\theta|}$, khi $\theta$ tiến từ vùng dương (vùng I) về $0$, kết quả chắc chắn sẽ dương, khi $\theta$ tiến từ vùng âm (vùng IV) về $0$, kết quả sẽ bằng $\frac{-\sin \theta}{-\theta}$ chắc chắn cũng sẽ dương.

• Đối với biểu thức $|\cos \theta|$, khi $\theta$ tiến về $0$ là các giá trị nằm trên trục $Ox$, tức là đoạn thẳng $\text{OC}$, cho nên kết quả $\cos \theta$ luôn luôn dương.

Vậy, ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối đi,

$$1 \geq \frac{\sin \theta}{\theta} \geq \cos \theta$$

Lưu ý, biểu thức trên chỉ đúng trong miền giá trị từ $\frac{\pi}{2}$ đến $\frac{-\pi}{2}$, tức là trong vùng I và vùng IV của đường tròn đơn vị, bởi vì $\theta$ tiến tới $0$ cho nên nó chỉ nằm trong 2 vùng này, chúng ta không cần xét thêm hai vùng còn lại kia.

Bây giờ, đã đến lúc thêm giới hạn vào các biểu thức con trong bất đẳng thức trên,

$$\lim_{\theta \to 0} 1 \geq \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} \geq \lim_{\theta \to 0} \cos \theta$$

Ta có,

• $\lim_{\theta \to 0} 1 = 1$
• $\lim_{\theta \to 0} \cos \theta = \cos 0 = 1$

Đã đến lúc sử dụng định lý giới hạn kẹp, bởi vì $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta}$ bị kẹp giữa hai giới hạn $\lim_{\theta \to 0} 1$ và $\lim_{\theta \to 0} \cos \theta$, mà chúng ta đã tính được kết quả ở 2 giới hạn kẹp cùng đều bằng $1$, cho nên giới hạn ở giữa chắc chắn cũng sẽ bằng $1$,

$$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$$

Thay $\theta$ bằng $x$, xong.