Đạo hàm của $a^x$ với $a$ là một hằng số nào đó và $x$ là một biến chưa biết, nhìn kết quả bạn có thể đoán đoán được ngay có khi lại liên quan đến một số tính chất của hàm logarit.
Đặt $y = a^x$, ta có thể thêm hàm logarit vào hai vế như sau,
$$\ln y = \ln a^x$$
Thì theo tính chất của hàm logarit, bạn có thể dễ dàng đưa mũ $x$ xuống,
$$\ln y = x \ln a$$
Sau đó, đạo hàm hai vế, ta được:
$$(\ln y)' = (x \ln a)'$$
Ở vế bên phải, vì $a$ là hằng số, cho nên $\ln(a)$ cũng là một hằng số, do đó ta có thể áp dụng công thức $(x \cdot a)' = x' a$, mà $x' = 1$, suy ra,
$$(\ln y)' = 1 \cdot \ln(a) = \ln(a) \hspace{1cm} (1)$$
Ở vế bên trái, vì $y = a^x$ là một biểu thức, cho nên ta có thể áp dụng công thức $\left( \ln u \right)' = \frac{u'}{u}$ do đó ta có,
$$(1) \Leftrightarrow \frac{y'}{y} = \ln(a)$$
Dễ dàng suy ra $y'$ sẽ bằng,
$$y' = y \ln(a)$$
Mà như lúc đầu, ta đã biết $y = a^x$, do đó ta có kết quả cần chứng minh,
$$y' = a^x \ln(a)$$
Có gì thắc mắc thông báo mình biết.