Hãy chắc chắn rằng bạn đã đọc và hiểu khái niệm cũng như bản chất của giới hạn trước khi giải các bài tập về giới hạn hàm số, một số câu trả lời sau mình nghĩ sẽ giúp ích cho bạn

• Làm thế nào để hiểu khái niệm giới hạn?
• Giải thích ý nghĩa công thức định nghĩa giới hạn lim theo ε và δ?

Còn bài tập giới hạn hàm số được chia ra làm hai dạng lớn sau:

Dạng xác định

Là dạng mà giá trị giới hạn của hàm số $f(x)$ khi $x$ tiến tới $a$ là có giá trị cụ thể và có nghĩa.

Dạng này rất đơn giản, hầu như là không cho ra ở bài tập hoặc dạng xác định là kết quả cuối cùng sau khi biến đổi của một giới hạn vô định. Giới hạn vô định là gì mình sẽ từ từ nói sau.

Ví dụ:

$$\lim_{x \to 2} \frac{x}{x + 2} = \lim_{x \to 2} \frac{2}{2 + 2} = \frac{1}{2}$$

Vì sao chúng ta có thể thay trực tiếp $x = 2$ vào giới hạn trên và tính được? Đơn giản vì nó là một giới hạn xác định và có nghĩa (nghĩa ở đây là biểu thức $f(x)$ có nghĩa với mẫu khác 0 khi $x \to 2$).

Dạng vô định

Là dạng mà giá trị giới hạn của hàm số $f(x)$ không có nghĩa hoặc tiến tới $\pm \infty$ nếu thay trực tiếp giá trị $x$ vào, do đó, ở dạng này chúng ta cần phải biến đổi một chút mới có thể làm được, bài tập giới hạn chủ yếu rơi vào dạng này.

Có 7 dạng giới hạn vô định sau:

$$\frac{0}{0}, \quad \frac{\infty}{\infty}, \quad \infty \cdot 0, \quad \infty - \infty, \quad 1^{\infty}, \quad 0^0, \quad \infty^{0}$$

Ví dụ,

• $\lim_{x \to 1} \left(\frac{x - 1}{x - 1} \right)$ có dạng $\frac{0}{0}$, bạn có thể biết được bằng cách thay $x = 1$ vào biểu thức $\frac{x - 1}{x - 1}$
• $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x}{x} \right)$ có dạng $\frac{\infty}{\infty}$, cách xác định tương tự như trên.

Cách giải dạng giới hạn vô định:

[1]: Nếu hàm số $f(x)$ thuộc dạng $\frac{0}{0}$ hoặc $\frac{\infty}{\infty}$ và tồn tại đạo hàm thì sử dụng ngay quy tắc L'Hospital,

Quy tắc L'Hospital: $$\lim_{x \to a} \frac{f}{g} = \lim_{x \to a} \frac{f'}{g'}$$ Với $f$ là biểu thức ở tử, $g$ là biểu thức ở mẫu, $f'$ là đạo hàm của $f$, $g'$ là đạo hàm của $g$.

Và $a$ có thể là một số hoặc $\pm \infty$ đều được.

Ví dụ đơn giản, tính $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x}{x} \right)$,

Ta đã biết được hàm số này có dạng $\frac{\infty}{\infty}$, ta có thể áp dụng ngay quy tắc L'Hospital,

Ta có,

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} \right) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x'}{x'} \right)$$

Mà đạo hàm của $x$ thì bằng $1$, do đó,

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{1} \right) = 1 \Rightarrow \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} \right) = 1$$

[2]: Nếu hàm số $f(x)$ thuộc dạng $\infty \cdot 0$ hoặc $\infty - \infty$ thì đưa về 2 dạng đầu ở [1] sau đó sử dụng quy tắc L'Hospital,

Ví dụ tính $\lim_{x \to 0^+} (x \cdot \ln x)$, biểu thức này có dạng $0 \cdot -\infty$, do đó ta không thể trực tiếp sử dụng quy tắc L'Hospital được, ta phải biến đổi một tí để nó có dạng $\frac{\infty}{\infty}$ hoặc $\frac{0}{0}$

Chúng ta biết phép nhân sẽ bằng phép chia nghịch đảo, cho nên có thể viết lại, $$\lim_{x \to 0^+} (x \cdot \ln x) = \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{\ln{x}}{\frac{1}{x}} \right) \quad (1)$$ Xác định rằng, khi $x$ tiến tới $0^+$, tử số $\ln(x)$ tiến tới $- \infty$ và mẫu số $\frac{1}{x}$ tiến tới $+ \infty$, do đó nó có dạng $\frac{\infty}{\infty}$, lúc này có thể áp dụng quy tắc L'Hospital,

Ta có,

$$(1) \Leftrightarrow \lim_{x \to 0^+} \left[ \frac{ \left( \ln{x} \right)' }{\left( \frac{1}{x} \right)' } \right] = \lim_{x \to 0^+} \left[ \frac{ \left( \frac{1}{x} \right) }{ \left( -\frac{1}{x^2} \right) } \right] = \lim_{x \to 0^+} (-x)$$

Sau khi áp dụng quy tắc, giới hạn đã được đưa về dạng xác định, có thể thay trực tiếp $x$ vào và được kết quả cuối cùng,

$$\lim_{x \to 0^+} (-x) = \lim_{x \to 0^+} (-0) = 0$$

[3]: Đối với 3 dạng vô định cuối $1^{\infty}, \quad 0^0, \quad \infty^{0}$, cách giải như sau,

Giả sử ta có giới hạn $\lim u^v$ thuộc 3 dạng trên,

Đặt $y = u^v$, theo tính chất hàm logarit, ta có $\ln y = v \cdot \ln u$

Tính $\lim (\ln y) = \lim (v \cdot \ln u)$, sử dụng quy tắc L'Hospital để tính được kết quả $B$ nào đó.

Đáp số cuối cùng sẽ là $e^B$

Ví dụ tính $\lim_{x \to + \infty} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$

Dễ dàng nhận biết ngay bài toán này có dạng $+ \infty^0$, do đó, ta đặt,

$$y = (1 + x)^{\frac{1}{x}}$$ $$\Rightarrow \ln y = \frac{1}{x} \ln (1 + x)$$

Tính $\lim_{x \to + \infty} (\ln y) = \lim_{x \to + \infty} \left[ \frac{1}{x} \ln (1 + x) \right] = \lim_{x \to + \infty} \left[ \frac{\ln (1 + x)}{x} \right] $, dễ dàng thấy ngay nó có dạng $\frac{+ \infty}{+ \infty}$, áp dụng luôn quy tắc L'Hospital,

$$\Rightarrow \lim_{x \to + \infty} \left[ \frac{ \left( \ln (1 + x) \right)' }{x'} \right] = \lim_{x \to + \infty} \left[ \frac{ \left( \frac{1}{1 + x} \right) }{1} \right] = \lim_{x \to + \infty} \left( \frac{1}{1 + x} \right)$$

Hàm số đã được đưa về dạng xác định, thay trực tiếp $x$ vào, kết quả $B$ sẽ bằng $\frac{1}{1 + \infty} = 0$.

Kết quả cuối cùng lấy $e^B = e^0 = 1$.